Partiella differentialekvationer, 7,5 hp

Innehåll

Kursen utvecklar teorin för hyperboliska, paraboliska och elliptiska partiella differentialekvationer.

Kursen består väsentligen av två delar. Den första delen behandlar klassiska lösningar till rand- och begynnelsevärdesproblem för Laplace-, värme- och vågoperatorn. Vidare studeras 1:a ordningens icke-linjära problem samt flera teoretiska verktyg och satser, exempelvis behandlas fouriertransformmetoder, speciella ansatser (variabelseparation, skalningsinvarianta lösningar) och Cauchy-Kovalevskayas sats. Den andra delen av kursen behandlar svaga lösningar till begynnelse- och randvärdesproblem för elliptiska, paraboliska och hyperboliska operatorer av andra ordningen. Sobolevrum introduceras och studeras. Därefter behandlas existens, entydighet och regularitetsproblem i termer av Sobolevrum. Egenskaper hos lösningarna samt olika lösningsmetoder studeras.

Förväntade studieresultat

Efter avslutad kurs ska studenten kunna

Kunskap och förståelse

• utförligt beskriva den grundläggande teorin för första ordningens icke-linjära problem
• utförligt beskriva den grundläggande teorin för distributioner, Sobolevrum och inbäddningssatser
• ingående redogöra för existens, entydighet och regularitetsproblem i skalor av Sobolevrum
• formulera och diskutera existenssatser för generella paraboliska och hyperboliska PDE:er
• självständigt formulera och bevisa Cauchy-Kovalevskayas sats och Lax-Milgrams lemma

Färdighet och förmåga

• använda fundamentallösningar och Greenfunktioner för olika typer av ekvationer
• använda Fourier- och Laplacetransformmetoder, variabelseparation och skalningsinvarianta lösningar
• använda maximumprincipen för elliptiska PDE
• tillämpa några metoder för att överföra icke-linjära ekvationer till linjära PDE

Värderingsförmåga och förhållningssätt

• klassificera PDE:er och välja lämpliga lösningsmetoder

Behörighetskrav

För tillträde till kursen krävs 90 hp varav 22,5 hp inom matematisk analys inkluderande en kurs i flervariabelanalys och differentialekvationer om minst 7,5 hp samt en kurs i linjär algebra om minst 7,5 hp. Engelska 5/A och svenska för grundläggande behörighet för högskolestudier (om kursen ges på svenska).

Undervisningens upplägg

Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar och lektioner.

Examination

Kursen examineras genom skriftlig tentamen. På hela kursen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl godkänd (VG).

Den som erhållit godkänt betyg på kursen kan ej examineras för högre betyg. För studerande som inte blivit godkända vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran om ny examinator ställs till prefekten för institutionen för matematik och matematisk statistik. Examination baserad på denna kursplan garanteras under två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.

Tillgodoräknande
Student har rätt att få prövat om tidigare utbildning eller motsvarande kunskaper och färdigheter förvärvade i yrkesverksamhet kan tillgodoräknas för motsvarande utbildning vid Umeå universitet. Ansökan om tillgodoräknande skickas in till Studentcentrum/Examina. Mer information om tillgodoräknande finns på Umeå universitets studentwebb, www.student.umu.se, och i högskoleförordningen (6 kap). Ett avslag på ansökan om tillgodoräknande kan överklagas (Högskoleförordningen 12 kap) till Överklagandenämnden för högskolan. Detta gäller såväl om hela som delar av ansökan om tillgodoräknande avslås.
 

Övriga föreskrifter

I en examen får denna kurs ej ingå tillsammans med en annan kurs med likartat innehåll. Vid osäkerhet bör den studerande rådfråga studierektor i matematik och matematisk statistik. Kursen kan ingå i en examen som en kurs i huvudområdet beräkningsteknik.