Kombinatorisk talteori, 7,5 hp

Innehåll

Additiv kombinatorik, ibland kallat kombinatorisk talteori, är ett ungt och mycket aktivt område inom matematikforskning. Det har vuxit till ett oberoende forskningsområde för ungefär tjugo år sedan. Sedan dess har området utvecklats i mycket hög grad, och fortsätter att växa.
Målet inom additiv kombinatorik är att förstå additiva strukturer i mängder av heltal. De frågor som studeras är ofta enkla att formulera, men mycket svåra att besvara. Här följer fyra typiska exempel på sådana frågor:

1. En mängd A kallas summa-fri om den inte innehåller element x,y, z med x+y=z. Hur många summa-fria delmängder av {1,2,... , n} finns det?
2. Hur stor kan en delmängd av {1,2,... n} vara om den inte får innehålla någon trippel {a, a+d, a+2d} med element i aritmetisk progression?
3. Hur stor kan en delmängd av {1,2,..n} vara om alla par av element ska ha distinkta summor?
4. Hur liten kan en delmängd A av {1,2,... n} vara om varje element i {1,2,.. n} som inte tillhör A ska kunna skrivas som en summa av två element ur A?

Förutom att de frågor som studeras i additiv kombinatorik är så enkla och naturliga har området ytterligare två tilltalande egenskaper:

Den första av dessa är att additiv kombinatorik begagnar sig av en blandning av tekniker från många olika områden, som sannolikhetsteori, grafteori, harmonisk analys, incidensgeometri, algebraisk geometri och ergodteori. Genom att studera additiv kombinatorik kan man lära sig om många kraftfulla tekniker som har tillämpningar i många andra områden.

Den andra av dessa är att additiv kombinatorik har utvecklats på ett uppseendeväckande sätt på senare år, och banbrytande forskning i området har belönats med två Fieldsmedaljer, fyra priser från Europeiska matematikersamfundet och ett Abelpris. Några av de mest framträdande resultaten är Gowers bevis av Szemerédis sats via Fourieranalys och Green-Taos sats om aritmetiska följder bland primtalen. Ännu mer nyligt har det gjorts genombrott på det så kallade cap-setproblemet och monokromatisk summa-produktproblemet, med korta och eleganta lösningar.

I den här kursen introduceras några av de grundläggande metoderna, problemen och teknikerna i additiv kombinatorik. Några av höjdpunkterna är de åtminstone tre bevisen av Roths sats, en diskussion om de senaste genombrotten på området och bevis av flera vackra resultat i kombinatorik med långtgående tillämpningar.

Förväntade studieresultat

För godkänt betyg på kursen ska den studerande kunna:

Kunskap och förståelse

• självständigt och ingående redogöra för fundamentala aspekter av den probabilistiska metoden
• självständigt och ingående redogöra för fundamental teori inom diskret harmonisk analys och dess tillämpningar inom talteori
• självständigt och ingående redogöra för centrala resultat och begrepp i additiv kombinatorik, som Freimanhomorfier, Gowersnormer, och formuleringar av Van der Waerden sats, Szemerédis sats och Green-Taos sats
• självständigt och ingående redogöra för the argumenten i bevisen genom Fourieranalys, ergodteori och grafteori för Roths sats

Färdighet och förmåga

• tillämpa den probabilistiska metoden på problem i talteori och kombinatorik
• formulera, bevisa och tillämpa Balogh-Szemerédi-Gowers sats, Turáns sats, Sperners sats, Ramseys sats, Szemerédis regularitetslemma, och Szemerédi-Trotters sats
• självständigt återskapa åtminstone ett av bevisen för Roths sats

Behörighetskrav

För tillträde till kursen krävs 90 hp i ämnesområdet matematik. Engelska 5/A och svenska för grundläggande behörighet för högskolestudier (om kursen ges på svenska).

Undervisningens upplägg

Undervisningen bedrivs i form av föreläsningar.

Examination

Kunskapsredovisningen sker med skriftliga prov i form av salstentamen. På kursen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl Godkänd (VG).

Den som erhållit godkänt betyg på kursen kan ej examineras för högre betyg. För studerande som inte blivit godkända vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran om ny examinator ställs till prefekten för institutionen för matematik och matematisk statistik. Examination baserad på denna kursplan garanteras under två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.

Tillgodoräknande
Student har rätt att få prövat om tidigare utbildning eller motsvarande kunskaper och färdigheter förvärvade i yrkesverksamhet kan tillgodoräknas för motsvarande utbildning vid Umeå universitet. Ansökan om tillgodoräknande skickas in till Studentcentrum/Examina. Mer information om tillgodoräknande finns på Umeå universitets studentwebb, www.student.umu.se, och i högskoleförordningen (6 kap). Ett avslag på ansökan om tillgodoräknande kan överklagas (Högskoleförordningen 12 kap) till Överklagandenämnden för högskolan. Detta gäller såväl om hela som delar av ansökan om tillgodoräknande avslås

Övriga föreskrifter

I en examen får denna kurs ej ingå tillsammans med en annan kurs med likartat innehåll. Vid osäkerhet bör den studerande rådfråga studierektor i matematik och matematisk statistik. Kursen kan ingå i en examen som en kurs i huvudområdet beräkningsteknik.