Funktionalanalys, 7,5 hp

Innehåll

Kursen behandlar grundläggande funktionalanalys. Kursen omfattar teorin för linjära operatorer på Hilbertrum, Banachrum och lokalt konvexa rum. Inledande spektralteori ingår samt en introduktion till fixpunktsatser och deras tillämpning på ickelinjära operatorer. Funktionsrum och basutvecklingar av olika slag diskuteras.

Förväntade studieresultat

För godkänd kurs ska den studerande kunna

Kunskap och förståelse

• definiera och ingående redogöra för begreppen Banachrum, Hilbertrum och självadjungerade operator
• självständigt genomföra bevis av och ingående förklara centrala satser

Färdighet och förmåga

• tillämpa spektralsatsen för kompakta självadjungerade operatorer och Fredholms alternativ samt avgöra vilka egenskaper en operator har
• tillämpa Hilbertrumsteori inkluderande exempelvis Riesz representationssats och begreppet svag konvergens samt vid problemlösning kritiskt reflektera över valda strategier och metoder
• självständigt avgöra om ett linjärt rum är ett Banachrum
• identifiera och självständigt använda kontraktioner av Banachrum via Brouwers och Schauders fixpunktssatser

Värderingsförmåga och förhållningssätt

• ur ett kritiskt perspektiv analysera operatorer från tillämpningar

Behörighetskrav

För tillträde till kursen krävs en kurs i reell analys på avancerad nivå eller motsvarande kunskaper. En 5/A och svenska för grundläggande behörighet för högskolestudier (om kursen ges på svenska).

Undervisningens upplägg

Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar

Examination

Kunskapsredovisningen sker i form av skriftligt prov. På kurs ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl godkänd (VG).

Den som erhållit godkänt betyg på kursen kan ej examineras för högre betyg. För studerande som inte blivit godkända vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran om ny examinator ställs till prefekten för institutionen för matematik och matematisk statistik. Examination baserad på denna kursplan garanteras under två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.

Tillgodoräknande
Student har rätt att få prövat om tidigare utbildning eller motsvarande kunskaper och färdigheter förvärvade i yrkesverksamhet kan tillgodoräknas för motsvarande utbildning vid Umeå universitet. Ansökan om tillgodoräknande skickas in till Studentcentrum/Examina. Mer information om tillgodoräknande finns på Umeå universitets studentwebb, www.student.umu.se, och i högskoleförordningen (6 kap). Ett avslag på ansökan om tillgodoräknande kan överklagas (Högskoleförordningen 12 kap) till Överklagandenämnden för högskolan. Detta gäller såväl om hela som delar av ansökan om tillgodoräknande avslås.

Övriga föreskrifter

I ​en examen får denna kurs ej ingå tillsammans med en annan kurs med likartat innehåll. Vid osäkerhet bör den studerande rådfråga studierektorn i matematik och matematisk statistik.