Huvudområden och successiv fördjupning:
Matematik: Avancerad nivå, har endast kurs/er på grundnivå som förkunskapskrav
Beräkningsteknik: Avancerad nivå, har endast kurs/er på grundnivå som förkunskapskrav
Betygsskala: Tregradig skala
Ansvarig institution: Institutionen för matematik och matematisk statistik
Kursens avser att vidareutveckla teorin för hyperboliska, paraboliska och elliptiska partiella differentialekvationer.
Kursen består väsentligen av två delar. Den första delen behandlar klassiska lösningar till rand- och begynnelseproblem för Laplace-, värme- och vågoperatorn. Vidare studeras 1:a ordningens icke-linjära problem samt flera teoretiska verktyg och satser, t ex behandlas fouriertransform metoder, speciella ansatser (variabelseparation, skalningsinvarianta lösningar) och Cauchy-Kovalevskayas sats. Denna andra delen av kursen behandlar svaga lösningar till begynnelse- och randvärdesproblem för elliptiska, paraboliska och hyperboliska operatorer av andra ordningen. Sobolevrum introduceras och studeras. Därefter behandlas existens, entydighet och regularitetsproblem i skalor av Sobolevrum. Egenskaper hos lösningarna samt olika lösningsmetoder studeras.
Förväntade studieresultat
Efter avslutad kurs ska studenten kunna:
översiktligt redogöra för och kunna använda fundamentallösningar och Greenfunktioner för olika typer av ekvationer
översiktligt redogöra för och kunna använda Fourier- och Laplacetransformmetoder, variabelseparation och skalningsinvarianta lösningar
redogöra för grundläggande teori för första ordningens icke-linjära problem
redogöra för några metoder för att överföra ickelinjära ekvationer till linjära PDE.
redogöra för Cauchy-Kovalevskayas sats och Lax-Milgrams sats
använda maximumprincipen för elliptiska PDE
redogöra för grundläggande teori för distributioner, Sobolevrum och inbäddningssatser
redogöra för existens, entydighet och regularitetsproblem i skalor av Sobolevrum
översiktligt redogöra för existenssatser för generella paraboliska och hyperboliska PDE:er
Behörighetskrav
För tillträde till kursen krävs kurserna Differentialekvationer för teknologer, (5MA005 eller 5MA121),Flervariabelanalys (5MA010 eller 5MA012) eller motsvarande kunskaper.
En A och svenska för grundläggande behörighet för högskolestudier (om kursen ges på svenska).
Undervisningens upplägg
Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar och handledning såväl individuellt som i grupp.
Examination
Kunskapsredovisningen sker i form av skriftliga prov eller i form av muntlig redovisning beroende på kurstillfälle. På en skriftlig eller muntlig tentamen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl godkänd (VG). Eventuella laborationsmoment ges endast något av betygen Underkänd (U) eller Godkänd (G). På hela kursen ges något av betygen U, G eller VG. För att bli godkänd på hela kursen krävs att samtliga prov och obligatoriska moment är godkända. Betyget utgör en sammanfattande bedömning av resultaten vid examinationens olika delar och sätts först när alla obligatoriska moment är godkända. Den som erhållit betyget godkänt på kursen kan ej examineras för högre betyg.
För studerande som inte blivit godkänd vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. Studerande som två gånger underkänts i prov, har rätt att hos styrelsen för institutionen för matematik och matematisk statistik begära att annan lärare utses att bestämma betyg.
Examination baserad på denna kursplan garanteras under minst två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen. Examinationsformen kan komma att ändras mellan skriftlig och muntlig examination ett år efter förstagångsregistrering på kursen.
Övriga föreskrifter
I en examen får denna kurs ej ingå tillsammans med en annan kurs med likartat innehåll. Vid osäkerhet bör den studerande rådfråga studierektorn i matematik och matematisk statistik.
Litteratur
Giltig från:
2012 vecka 4
Evans Lawrence C. Partial differential equations 2nd ed. : Providence, R.I. : American Mathematical Society : 2010. : 749 s. : ISBN: 978-0-8218-4974-3 (alk. paper) Obligatorisk Se Umeå UB:s söktjänst
