Kursen är indelad i tre moment.
Moment 1 (6,5 hp): Introduktion till differentialekvationer
I momentet behandlas första och andra ordningens ordinära differentialekvationer inklusive separabla
ekvationer, ekvationer med integrerande faktor samt tekniken med variation av parameter för
inhomogena problem. Laplacetransformen är ett viktigt hjälpmedel vid lösning av
differentialekvationer och i samband med att den tas upp behandlas också begreppen faltning och
impulsfunktion. System av linjära differentialekvationer förekommer i många tillämpningar och hur
man löser sådana med matrismetoder är en viktig del av momentet. En introduktion till kvalitativ
analys av autonoma system och begreppet fasplan ges också. Som en introduktion till hur man löser
partiella differentialekvationer i enkla områden används metoden med separation av variabler på de
viktiga fallen värmeledningsekvation, vågekvation och Laplace ekvation. I samband med detta ges
också en introduktion till begreppet Fourierserie.
Moment 2 (1 hp): Datorlaborationer
I det här momentet genomförs laborationer som illustrerar olika begrepp som förekommer i kursen
samt visar på olika numeriska metoder att lösa ordinära differentialekvationer. I samband med
datorlaborationerna, introduceras Eulers metod som ett exempel på metoder för numerisk lösning av
differentialekvationer.
Moment 3 (3 hp): Introduktion till Hilbertrum
Momentet inleds med en repetition av komplexa tal med tonvikt på den komplexa
exponentialfunktionen. Med utgångspunkt i ändligtdimensionella komplexa vektorrum införs sedan
allmänna komplexa inre produktrum och i samband med det också Hermitiska och unitära matriser.
Därefter följer ett ingående studium av begreppet Hilbertrum och de därmed sammanhängande
begreppen ortogonal bas, ortogonal projektion, symmetrisk operator samt Sturm-Liouvilleoperator.
Fouriers metod används för att lösa några enkla typer av partiella differentialekvationer som exempel
på användbarheten av Hilbertrumsteorin. Den i tillämpningar så viktiga Fouriertransformen och dess
egenskaper samt några exempel på dess användning tas också upp i detta moment.
Förväntade studieresultat
Moment 1:
Efter avslutad kurs ska studenten kunna
tillämpa metoderna i kursen för att lösa ordinära differentialekvationer av ordning ett och två
redogöra för teorin för existens och entydighet för lösningar till ordinära
differentialekvationer
tillämpa metoder för att lösa linjära system av ordinära differentialekvationer
tillämpa Laplacetransformen för att lösa ordinära differentialekvationer
tillämpa ordinära differentialekvationer för att modellera enklare fysikaliska situationer,
exempelvis blandningsproblem och mekanikproblem
redogöra för och tillämpa metoden med variabelseparation för att lösa partiella
differentialekvationer
beräkna samt redogöra för egenskaper hos trigonometriska Fourierserier
Moment 2:
Efter avslutad kurs ska studenten kunna
använda givna datorprogram till att studera och analysera numeriska lösningar av
differentialekvationer
skriva och modifiera givna datorprogram för att lösa uppgifter
redogöra muntligt och skriftligt för lösningar av givna laborationsuppgifter
Moment 3:
Efter avslutad kurs ska studenten kunna
använda komplexa tal och komplexa exponentialfunktionen i beräkningar
redogöra för grundläggande teori för Hilbertrum och symmetrisk operatorer, Sturm-
Liouvilleoperatorernas egenskaper
använda Fouriers metod vid lösning av enkla typer av partiella differentialekvationer
definiera Fouriertransformen samt härleda de viktigaste egenskaperna
Behörighetskrav
För tillträde till kursen krävs kurserna Flervariabelanalys (5MA010) och Linjär algebra (5MA019) eller motsvarande kunskaper.
Undervisningens upplägg
Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar och lektionsundervisning. Obligatoriska
datorlaborationer ingår.
Examination
Kunskapsredovisningen sker i form av skriftliga prov. Dessa kan kombineras med andra
examinationsformer, exempelvis skriftlig och muntlig redovisning av individuella arbeten. På en
skriftlig tentamen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (3), Icke utan beröm godkänd (4)
eller Med beröm godkänd (5). På laborationsmomentet samt vid övriga former av examination ges
något av betygen Underkänd (U) eller Godkänd (G). För att bli godkänd på kursen krävs att samtliga
prov och obligatoriska moment är godkända. På kursen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd
(3), Icke utan beröm godkänd (4) eller Med beröm godkänd (5). Betyget utgör en sammanfattande
bedömning av resultaten vid examinationens olika delar och sätts först när alla obligatoriska moment
är godkända. Den som godkänts i prov får ej undergå förnyat prov för högre betyg. För studerande
som inte blivit godkänd vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle.
En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har
rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran
om ny examinator ställs till prefekten vid institutionen för matematik och matematisk statistik. Examination baserad på denna kursplan garanteras under minst två år efter studentens
förstagångsregistrering på kursen.
Övriga föreskrifter
Tillgodoräknande prövas alltid individuellt (se universitetets regelsamling och
tillgodoräknandeordning).
Litteratur
Litteraturlistan är inte tillgänglig via den webbaserade utbildningskatalogen.
Kontakta aktuell institution.
