Partiella differentialekvationer, 7,5 hp

Innehåll

Kursens avser att vidareutveckla teorin för hyperboliska, paraboliska och elliptiska partiella differentialekvationer.

Kursen består väsentligen av två delar. Den första delen behandlar klassiska lösningar till rand- och begynnelseproblem för Laplace-, värme- och vågoperatorn. Vidare studeras 1:a ordningens icke-linjära problem samt flera teoretiska verktyg och satser, t ex behandlas fouriertransform metoder, speciella ansatser (variabelseparation, skalningsinvarianta lösningar) och Cauchy-Kovalevskayas sats. Denna andra delen av kursen behandlar svaga lösningar till begynnelse- och randvärdesproblem för elliptiska, paraboliska och hyperboliska operatorer av andra ordningen. Sobolevrum introduceras och studeras. Därefter behandlas existens, entydighet och regularitetsproblem i skalor av Sobolevrum. Egenskaper hos lösningarna samt olika lösningsmetoder studeras.

Förväntade studieresultat

Efter avslutad kurs ska studenten kunna:
• översiktligt redogöra för och kunna använda fundamentallösningar och Greenfunktioner för olika typer av ekvationer
• översiktligt redogöra för och kunna använda Fourier- och Laplacetransformmetoder, variabelseparation och skalningsinvarianta lösningar
• redogöra för grundläggande teori för första ordningens icke-linjära problem
• redogöra för några metoder för att överföra ickelinjära ekvationer till linjära PDE.
• redogöra för Cauchy-Kovalevskayas sats och Lax-Milgrams sats
• använda maximumprincipen för elliptiska PDE
• redogöra för grundläggande teori för distributioner, Sobolevrum och inbäddningssatser
• redogöra för existens, entydighet och regularitetsproblem i skalor av Sobolevrum

Behörighetskrav

För tillträde till kursen krävs kurserna Differentialekvationer för teknologer, (5MA005), Flervariabelanalys (5MA010) eller motsvarande kunskaper. En A och svenska för grundläggande behörighet för högskolestudier (om kursen ges på svenska).

Examination

Kunskapsredovisningen sker dels i form av skriftliga prov, dels i form av muntlig redovisning. På en skriftlig tentamen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (3), Icke utan beröm godkänd (4) eller Med beröm godkänd (5). Eventuella laborationsmoment ges endast något av betygen Underkänd (U) eller Godkänd (G). På hela kursen ges något av betygen U, 3, 4, eller 5. För att bli godkänd på hela kursen krävs att samtliga prov och obligatoriska moment är godkända. Betyget utgör en sammanfattande bedömning av resultaten vid examinationens olika delar och sätts först när alla obligatoriska moment är godkända. Den som erhållit betyget godkänt på kursen kan ej examineras för högre betyg.
För studerande som inte blivit godkänd vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. Studerande som två gånger underkänts i prov, har rätt att hos prefekten för institutionen för matematik och matematisk statistik begära att annan lärare utses att bestämma betyg.
Examination baserad på denna kursplan garanteras under minst två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.