Kursen är indelad i tre moment.
Moment 1 (6,5 hp): Introduktion till differentialekvationer
I momentet behandlas första och andra ordningens ordinära differentialekvationer; Separabla ekvationer, integrerande faktor och variation av parameter; Kvalitativ analys och begreppet fasplan; Laplacetransformer inklusive begreppen faltning och impulsfunktion; Lösning av linjära system av ordinära differentialekvationer med matrismetoder; Lösning av värmeledningsekvationen, vågekvationen och Laplace ekvation med separation av variabler; Fourierserier.
Moment 2 (7,5 hp): Hilbertrum och partiella differentialekvationer.
Något om komplexa tal, speciellt den komplexa exponentialfunktionen. Ändligtdimensionella komplexa vektorrum, komplexa inreproduktrum, Hermiteska och unitära matriser. Hilbertrum, ortogonala baser, ortogonal projektion, symmetriska operatorer, Sturm-Liouvilleoperatorer, Fouriers metod. Fouriertransformen, egenskaper och exempel på användning. Partiella differentialekvationer (pde), modeller med olika begynnelse- och randvillkor, entydighet och stabilitet, superpositionsprincipen. Lösning av pde med Fouriers metod i enkla områden med olika typer av begynnelse- och randvillkor samt stationära periodiska lösningar. Några speciella funktioner med användning vid lösning av pde. Exempel på användning av Fouriertransform för lösning av pde. Något om Greenfunktioner, Poissonkärnor och fundamentallösningar till pde. Medelvärdesegenskapen för harmoniska funktioner.
Moment 3 (1 hp): Datorlaborationer
Laborationer som illustrerar begreppen samt visar på olika numeriska metoder att lösa ordinära och partiella differentialekvationer av de slag som ingår i kursen. I samband med datorlaborationerna, introduceras Eulers metod samt finita elementmetoden för numerisk lösning av differentialekvationer.
Förväntade studieresultat
Efter avslutad kurs ska studenten kunna
Moment 1
- tillämpa metoderna i kursen för att lösa ordinära differentialekvationer av ordning ett och två
- redogöra för teorin för existens och entydighet för lösningar till ordinära differentialekvationer
- tillämpa metoder för att lösa linjära system av ordinära differentialekvationer
- tillämpa Laplacetransformen för att lösa ordinära differentialekvationer
- tillämpa ordinära differentialekvationer för att modellera enklare fysikaliska situationer, exempelvis blandningsproblem och mekanikproblem
- redogöra för och tillämpa metoden med variabelseparation för att lösa partiella differentialekvationer
- beräkna samt redogöra för egenskaper hos trigonometriska Fourierserier
Moment 2
- använda komplexa tal och komplexa exponentialfunktionen i räkningar,
- redogöra för grundläggande teori för Hilbertrum och symmetriska operatorer, Sturm-Liouvilleoperatorernas egenskaper samt Fouriers metod.
- redogöra för definitionen av Fouriertransformen samt härledningen av de viktigaste egenskaperna
- redogöra för begreppen Greenfunktion, fundamentallösning och Poissonkärna samt visa medelvärdesegenskapen för harmoniska funktioner
- tillämpa de teoretiska kunskaperna om Hilbertrum, speciella funktioner, Fouriertransform och Greenfunktion vid lösning av några, för fysiken centrala, partiella differentialekvationer, givna i geometriskt enkla områden.
Moment 3
- använda givna datorprogram till att studera och analysera numeriska lösningar av differentialekvationer,
- skriva egna eller modifiera givna datorprogram för att lösa uppgifter,
- redogöra muntligt eller skriftligt för lösningar av givna laborationsuppgifter.
Behörighetskrav
För tillträde till kursen krävs kursen Flervariabelanalys (5MA010) eller motsvarande kunskaper
Undervisningens upplägg
Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar och lektionsundervisning. Obligatoriska datorlaborationer ingår.
Examination
Efter vart och ett av de ingående momenten, utom momentet datorlaborationer,
anordnas skriftligt prov.
På en skriftlig tentamen sätts något av betygen Underkänd (U), Godkänd (3), Icke utan
beröm godkänd (4) eller Med beröm godkänd (5). På datorlaborationerna ges
endast betygen Underkänd (U) eller Godkänd (G).
På hela kursen ges något av betygen Underkänd (U), Godkänd (3), Icke utan beröm
godkänd (4) eller Med beröm godkänd (5). För att bli godkänd på hela kursen krävs att
samtliga prov och obligatoriska moment är godkända. Betyget utgör en sammanfattande
bedömning av resultaten vid examinationens olika delar och sätts först när alla
obligatoriska moment är godkända. Betyg på kursen, för den som är godkänd, utgörs av,
den till närmaste heltal avrundade, viktade summan av betygen på de skriftliga proven.
Vikterna utgörs av respektive moments poängtal i förhållande till hela kursens poängtal. Den som erhållit betyget godkänt på kursen kan ej examineras för högre betyg.
För studerande som inte blivit godkänd vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare
provtillfälle. En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran om ny examinator ställs till prefekten för institutionen för matematik och matematisk statistik.
Omtentamen baserad på samma kursplan som vid ordinarie tentamen garanteras under
minst två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.
Tillgodoräknande prövas alltid individuellt (se universitetets regelsamling och tillgodoräknandeordning).
Litteratur
Litteraturlistan är inte tillgänglig via den webbaserade utbildningskatalogen.
Kontakta aktuell institution.
