Stokastiska differentialekvationer, 7,5 hp

Innehåll

Kursen är indelad i två moduler.

Modul 1 (6,5 hp) Teori.
Modulen inleds med en genomgång av nödvändig bakgrund i sannolikhetsteori, inklusive en introduktion till måtteori och stokastiska processer. Därefter introduceras (lokala) martingaler och kvadratisk variation, vars mest kända exempel är den Brownska rörelsen, Itointegralen och Itokalkylen introduceras. Dessa tillämpas för lösninga av vissa stokastiska differentialekvationer (SDE). Vidare behandlas den generella existens- och entydighetsteorin för SDE i Lipschitzfallet, vilket naturligt leder till numeriska metoder för simulering av lösningar till SDE. Kopplingen mellan SDE och partiella differentialekvationer (PDE) utreds (till exempel Feynman-Kacs ekvation), vilket ger möjlighet att simulera lösningar till PDE i enskilda punkter genom att använda simuleringar av SDE. I slutet av modulen studeras Girsanovs sats och martingalrepresentationssatsen, liksom en kort introduktion till optimala stopp-problem. 

Modul 2 (1 hp) Datorlaboration.
I modulen ingår att implementera någon numerisk metod för simulering av lösningar, anpassning av modellparametrar till givna data och minstakvadrat-Monte Carlo-metoden för att lösa optimala stopp-problem.

Förväntade studieresultat

För godkänd kurs ska studenten kunna:

Kunskap och förståelse

• ingående redogöra för centrala begrepp inom Itokalkylen
• ingående redogöra för numeriska simuleringsmetoder för Itointegraler och lösningar till stokastiska differentialekvationer

Färdighet och förmåga

• självständigt lösa vissa Itointegraler och stokastiska differentialekvationer analytiskt
• använda numeriska simuleringsmetoder för Itointegraler och lösningar till stokastiska differentialekvationer
• formulera matematiska modeller med hjälp av stokastiska differentialekvationer

Värderingsförmåga och förhållningssätt

• lösa utmanande numeriska problem med de tekniker som ingår i kursen och värdera modellerna ur ett vetenskapligt perspektiv.

Behörighetskrav

För tillträde till kursen krävs 90 hp inkluderande 22,5 hp matematisk analys varav 7,5 hp i flervariabelanalys och differentialekvationer, en kurs linjär algebra om minst 7,5 hp samt en grundläggande kurs i matematisk statistik om minst 6 hp, eller motsvarande. Engelska och svenska för grundläggande behörighet för högskolestudier.

Undervisningens upplägg

Undervisningen bedrivs i huvudsak i form av föreläsningar, lektionsundervisning och handledning ett numeriskt grupp-projekt.

Examination

Examinationen på modul 1 sker i form av skriftlig och muntlig tentamen. Modul 2 examineras genom skriftliga laborationsrapporter. På modul 1 ges något av omdömena Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl godkänd (VG).  På modul 2 ges endast något av omdömena Underkänd (U) eller Godkänd (G). På hel kurs sätts något av betygen Underkänd (U), Godkänd (G) eller Väl godkänd (VG). För att bli godkänd på kursen krävs att samtliga prov och obligatoriska moduler är godkända. Betyget på kursen bestäms av omdömet på Modul 1 och sätts först när alla obligatoriska moduler är bedömda. Via frivilliga inlämningsuppgifter under kursens gång finns möjlighet att höja kursbetyget från G till VG. Bonuspoängen från inlämningsuppgifterna gäller endast vid kurstillfällets två första tentamenstillfällen.

Den som erhållit betyget godkänt på kursen kan ej examineras för högre betyg. För studerande som inte blivit godkänd vid ordinarie provtillfälle anordnas ytterligare provtillfälle. En student som utan godkänt resultat har genomgått två prov för en kurs eller en del av en kurs, har rätt att få en annan examinator utsedd, om inte särskilda skäl talar emot det (HF 6 kap. 22 §). Begäran om ny examinator ställs till prefekten vid Institutionen för matematik och matematisk statistik. Examination baserad på denna kursplan garanteras under två år efter studentens förstagångsregistrering på kursen.

Examinator kan besluta om avsteg från kursplanens examinationsform. Individuell anpassning av examinationsformen ska övervägas utifrån studentens behov. Examinationsformen anpassas inom ramen för kursplanens förväntade studieresultat. Student som har behov av en anpassad examination ska senast 10 dagar innan examinationen begära anpassning hos kursansvarig institution. Examinator beslutar om anpassad examination som sedan meddelas studenten.

Tillgodoräknande
Student har rätt att få prövat om tidigare utbildning eller motsvarande kunskaper och färdigheter förvärvade i yrkesverksamhet kan tillgodoräknas för motsvarande utbildning vid Umeå universitet. Ansökan om tillgodoräknande skickas in till Studentcentrum/Examina. Mer information om tillgodoräknande finns på Umeå universitets studentwebb, www.student.umu.se, och i högskoleförordningen (6 kap). Ett avslag på ansökan om tillgodoräknande kan överklagas (Högskoleförordningen 12 kap) till Överklagandenämnden för högskolan. Detta gäller såväl om hela som delar av ansökan om tillgodoräknande avslås.

Övriga föreskrifter

I en examen får denna kurs ej ingå tillsammans med en annan kurs med likartat innehåll. Vid osäkerhet bör den studerande rådfråga studierektorn i matematik och matematisk statistik.

I det fall att kursplan upphör att gälla eller genomgår större förändringar, garanteras studenter minst tre provtillfällen (inklusive ordinarie provtillfälle) enligt föreskrifterna i den kursplan som studenten ursprungligen varit kursregistrerad på under en tid av maximalt två år från det att tidigare kursplan upphört att gälla eller att kursen slutat ges.