NYHET Linus Hägg introducerar ett ramverk för filter som används för att förhindra uppkomsten av små detaljer vid datorbaserad designoptimering. Han analyserar också matematiska modeller för ljudets utbredning. Linus försvarar sin avhandling den 22 oktober vid Umeå universitet.
Linus Hägg, doktorand i datavetenskap.
BildVictoria SkeidsvollMålet med topologioptimering är att bestämma den bästa utformningen av ett givet material. Ett klassiskt exempel går ut på att från en given mängd stål utforma en så styv konsolbalk som möjligt. Genom att indela området i ett ändligt antal rutor och med hjälp av en dator bestämma vilka rutor som ska innehålla stål och vilka som ska vara tomma kan konsolbalkens utformning optimeras i en helt virtuell designprocess. För rutnät med relativt få rutor är det i princip möjligt att med datorns hjälp utvärdera alla möjliga utformningar. I praktiken används dock mycket finare rutnät vilka kräver effektiva beräknings- och optimeringsalgoritmer som systematiskt föreslår förbättrande förändringar av utformningen.
Problemet är att djävulen lurar i detaljerna. Ett allt finare rutnät leder nämligen till allt finare strukturer i de optimerade utformningarna vilket i sin tur ställer allt högre krav på tillverkningsprocessen. Denna brist är en effekt av att den ursprungliga formuleringen, som i någon mening svarar mot ett rutnät med ett oändligt antal oändligt små rutor, saknar lösningar.
Genom att i problemformuleringen introducera ickelinjära filter som härmar morfologiska bildbehandlingsoperatorer kan den minsta tillåtna storleken på detaljerna kontrolleras oberoende av rutornas storlek. Effekten av dessa filter kan liknas vid den som uppnås om utformningarna ritas med pennor av en viss förutbestämd storlek – grova pennor kan inte rita fina detaljer.
I sin avhandling introducerar Linus Hägg ramverket för generaliserade fW-medelvärdesfilter som möjliggör enhetlig analys av såväl nya som en majoritet av existerande filter för topologioptimering, bland andra filter som härmar morfologiska operatorer.
– Jag presenterar ett matematiskt bevis som visar att konsolbalksoptimeringsproblemet och liknande problem inom topologioptimering med hjälp av generaliserade fW-medelvärdesfilter blir lösbara. Filtren är på så sätt inte bara en kosmetisk fix som förhindrar uppkomsten av för små detaljer i de optimerade utformningarna när rutnätet förfinas, utan hanterar även den underliggande bristen på lösningar.
Avhandlingen visar att den minsta storleken på en utformning kan karaktäriseras med hjälp av morfologiska operatorer.
– Det intressanta med en sådan karaktärisering är att den leder till ett bivillkor som kan användas för att begränsa den minsta storleken på hålen samtidigt som det begränsar den minsta storleken på strukturerna i de optimerade utformningarna. Detta till skillnad från morfologihärmande filter som i allmänhet inte kan göra både och samtidigt.
Undersöker modell för ljudutbredning
I den andra delen i sin avhandling studerar Linus Hägg Friedrichssystem som modellerar ljudets utbredning. Ofta antas att ljudutbredningen sker i stillastående luft, men den som lyssnat på en utomhuskonsert i byiga vindar har inte undgått att notera vindens påverkan på ljudet.
I början av 1930-talet formulerade fransmannen Henri Galbrun en ekvation som modellerar ljudutbredning med hänsyn till vinden. Trots flertalet relativt jordnära tillämpningar används Galbruns ekvation även som en modell för svängningar i en stjärnas plasma.
Ekvationen består egentligen av ett system av tre ekvationer, en för varje komponent av det så kallade Lagrangeiska förskjutningsfältet från vilket hela ljudfältet kan beräknas. Galbruns tre ekvationer kan jämföras med lineariserade Eulers ekvationer som är ett system av sex ekvationer som normalt används för att modellera ljudutbredning med hänsyn till vinden. Halveringen av antalet ekvationer gör Galbruns ekvation attraktiv ur ett beräkningsperspektiv.
Trots att Galbruns ekvation formulerades för nästan 100 år sedan saknas till stor del fortfarande allmängiltiga svar på fundamentala frågor om lösningarnas existens, entydighet och känslighet. Dessa tre egenskaper, som i hög grad påverkar möjligheten att beräkna tillförlitliga lösningar med hjälp av datorer, brukar sammanfattas i begreppet rättställdhet.
I sin avhandling analyserar Linus Hägg rättställdheten av Galbruns ekvation och visar en alternativ härledning av Galbruns ekvation i vilken det Lagrangeiska förskjutningsfältet definieras via en lösning till lineariserade Eulers ekvationer.
– På så sätt belyser härledningen möjligheten att konstruera lösningar till Galbruns ekvation från lösningar till lineariserade Eulers ekvationer. I specialfallet då vinden inte korsar beräkningsområdets begränsningsytor visar jag att lineariserade Eulers ekvationer är rättställda och att min konstruktion av det Lagrangeiska förskjutningsfältet är väldefinierad.
Linus Hägg är född och uppvuxen i Skellefteå. Han är civilingenjör i teknisk fysik utbildad vid Umeå universitet.
Pressbild. Foto: Victoria Skeidsvoll
Torsdagen den 22 oktober försvarar Linus Hägg, Institutionen för datavetenskap vid Umeå universitet, sin avhandling med titeln: The fW-mean Filter Framework for Topology Optimization and Analysis of Friedrichs systems. Svensk titel: Ett ramverk för medelvärdesfilter inom topologioptimering samt analys av Friedrichs system.
Disputationen äger rum klockan 14.00 i MA121, MIT-huset, Umeå universitet. Fakultetsopponent är professor Björn Engquist, Department of Mathematics, University of Texas at Austin, USA.