Matematikens ontologi och kunskapsteori

Projektbeskrivning

1. Syfte
Syftet med projektet är att kritiskt granska det program inom matematikens filosofi som går under benämningen nyfregeanism (”Neo-Fregeanism”) och som utvecklats och diskuterats livligt under de senaste 20-åren. Programmets främsta företrädare är filosoferna Crispin Wright och Bob Hale, verksamma vid St. Andrews-universitetet i Skottland. Den nyligen bortgångne amerikanske logikern George Boolos har också bidragit på ett avgörande sätt till nyfregeanismens framväxt.

Nyfregeanerna menar att Frege i det stora hela hade rätt när han hävdade att:
(i) matematiska påståenden, i vilken aritmetikens satser ingår, är objektivt sanna eller falska;
(ii) dessa påståenden handlar om objektivt existerande abstrakta ting: tal, funktioner och klasser; samt
(iii) de aritmetiska sanningarna är analytiska, i betydelsen att de kan bevisas vara sanna utifrån allmänna logiska lagar och principer som har sin grund i de ingående termernas mening.

För att få dessa teser att gå ihop, måste Frege visa att de matematiska objekten är rent logiska till sin natur, dvs. att de kan definieras inom ramen för den av Frege själv utvecklade logiken. Frege menade alltså att aritmetiken, dvs. teorin för de naturliga talen 0,1, 2,.. kan reduceras till logik, dvs. att de aritmetiska grundbegreppen kan definieras i rent logiska termer och att aritmetikens grundantaganden (Peanos axiom) kan bevisas utifrån definitioner och allmänna logiska lagar.

Freges matematikfilosofi tillerkänner således matematiken objektiv giltighet samtidigt som den tycks förklara hur matematisk kunskap är möjlig; utan att som Kant gjorde tillgripa en för matematiken specifik kunskapskälla – s.k. matematisk intuition.

2. Freges logik och Russells paradox
Freges logik bestod av:
(i) Axiom och härledningsregler för högre-ordningens predikatlogik, där individvariablerna antar objekt som värden medan variabler av högre ordning löper över ”omättade” entiteter: funktioner och begrepp.
(ii) Abstraktionsprinciper för funktioner och begrepp, t.ex.: det finns ett begrepp F: för alla x, Fx omm A(x), där A(x) är en formel som kan vara impredikativ, dvs. själv involvera kvantifikation över alla begrepp, inklusive det begrepp som den definierar.
(iii) Freges Axiom V enligt vilket varje begrepp F är associerat med ett objekt, ext(F), sådant att:
ext(F) = ext(G) omm för alla x: Fx omm Gx.

ext(F) kallas F’s extension och kan förstås som klassen av alla objekt som faller under F.

(i)-(iii) medför tillsammans att Freges system är inkonsistent (Russells paradox): Låt R(x) vara begreppet: x är extensionen hos ett begrepp som x inte faller under. Låt r vara extensionen hos R(x). Det är lätt att i Freges system bevisa: R(r) omm inte R(r).

Trots att Freges program, i sin ursprungliga form, således är ogenomförbart, kan det vara lärorikt att analysera vad som gick fel och se vad som kan göras för att reparera Freges system. Man kan erhålla konsistenta delsystem av Freges system genom att modifiera en eller flera av de ingredienser (i)-(iii) som ledde till Russells paradox. Fregeska ansatser karakteriseras av att man gör minimala förändringar i Freges system – med syfte att erhålla ett motsägelsefritt system – och undersöker hur mycket matematik som kan erhållas i det resulterande systemet. De kontrasterar mot ansatser där man t.ex. använder axiomatisk mängdteori, eller kategoriteori som grund (eller ramverk) för matematiken.

3. Freges teorem
I Grundgesetze (1893) definierar Frege det kardinaltal, NxFx, som är associerat med ett begrepp F som klassen av alla klasser som är liktaliga med (dvs. kan en-entydigt tillordnas) F’s extension. Utifrån denna definition bevisar han den s.k. Humes princip:
(HP) NxFx = NxGx omm F 1-1 G,

där F 1-1 G betyder att det finns en en-entydig tillordning mellan de objekt som faller under respektive F och G. HP säger alltså att två begrepp har samma kardinaltal omm de är liktaliga.

När Frege väl har bevisat HP från axiom V, utvecklar han teorin för kardinaltal och ändliga kardinaltal (naturliga tal) enbart på basis av HP, och använder sig inte vidare av axiom V. Att man kan lägga HP som grund för aritmetiken finns redan antytt i Freges Grundlagen och har understrukits av Crispin Wright. Låt oss med Fregearitmetik mena den andra-ordningens teori som erhålls ur Freges system genom att man tar ’kardinalitet’ i stället för ’extension’ som ett primitivt begrepp och ersätter axiom V med HP. I Fregearitmetiken kan vi definiera 0, efterföljare, och naturligt tal, samt bevisa Peanos axiom för de naturliga talen. Detta resultat har visats på ett rigoröst sätt av Boolos som gett det namnet Freges teorem. Boolos har även bevisat att Fregearitmetiken är konsistent, förutsatt att andra-ordningens Peano aritmetik är det. Eftersom andra-ordningens Peano aritmetik är kategorisk, innebär Freges teorem att alla sanna satser i aritmetiken är (andra-ordningens) logiska konsekvenser av HP. Å andra sidan, medför Gödels första ofullständighetsteorem att det finns sanna aritmetiska satser som inte kan bevisas i Fregearitmetiken (förutsatt att denna är konsistent).

4. Fregeska abstraktionsprinciper
Axiom V och HP är exempel på (Fregeska) abstraktionsprinciper, dvs. principer av formen:
$F = $G omm F eq. G,

där eq. är en ekvivalensrelation mellan begrepp och $F och $G är objekt som representerar ”ekvivalensklasser” av begrepp m.a.p. relationen eq. En Fregesk abstraktionsprincip kan sägas postulera existensen av en avbildning $ från begrepp till objekt. Det intuitiva felet med axiom V kan sägas vara att det hävdar existensen av en en-entydig avbildning från begrepp till objekt: det skulle alltså finnas minst lika många objekt som det finns begrepp. Samtidigt leder systemets starka existensantaganden till att det måste finnas fler begrepp än det finns objekt. Abstraktionsprinciper kan alltså vara utomordentligt kraftfulla, som HP, eller t.o.m. alltför kraftfulla, som Freges axiom V.

Wright och Hale menar att Freges teorem har stor filosofisk betydelse. De tänker sig nämligen att HP kan uppfattas som en implicit definition av begreppet kardinaltal, och därmed som analytiskt sann. Utifrån HP kan vi bevisa existensen av kardinaltal: Begreppet Planet kan en-entydigt korreleras med begreppet Planet (logisk sanning). Därav följer, medelst HP, att: NxPlanet(x) = NxPlanet(x). Men detta kan inte vara sant om inte ’NxPlanet(x)’ är en genuint refererande singulär term. Det måste alltså finnas tal. I likhet med Frege menar alltså Wright och Hale att det är analytiskt sant att det finns tal.

Nyfregeanerna påstår inte att Humes princip är en logisk sanning. Däremot hävdar de att Humes princip är en analytisk sanning om begreppet antal. De offrar därmed Freges tanke om en strikt reduktion av aritmetiken till logik, samtidigt som de bevarar idén att aritmetikens satser är analytiskt (och därmed a priori) sanna. Det ingår i det nyfregeanska programmet att försöka visa att även andra delar av matematiken kan logiskt återföras på analytiskt sanna abstraktionsprinciper liknande Humes princip.

5. Forskningsproblem
Wright och Hales nyfregeanska program är filosofiskt kontroversiellt. Det finns mycket i programmet som kan ifrågasättas. Vilken kunskapsteoretisk status har den logik som nyfregeanerna förutsätter? Har verkligen alla principer och slutledningsregler i denna logik sin grund i begreppsliga samband? Eller är det snarare som kritikerna har hävdat, att nyfregeanerna givit substantiella matematiska antaganden – t.ex. kontroversiella antaganden om olika matematiska entiteters existens – en oskyldig logisk förklädnad? De problem som jag främst kommer att inrikta mig på är av begreppslig och meningsteoretisk art:

(1) Hur kan man ge en intuitiv semantik för Freges högre-ordningens logik som bemöter Quines invändning att sådan logik är mängdteori i fårakläder?
(2) Den avsedda tolkningen av Freges Begriffschrift förutsätter att individvariablerna löper över ABSOLUT ALLA objekt. Är denna typ av obegränsad kvantifikation meningsfull; eller förutsätter all (objektuell) kvantifikation en begränsad domän? Är den obegränsade tolkningen meningsfull i en högre ordningens kontext?
(3) Hur skall man tolka de högre ordningens kvantifikatorer som förekommer i fregeska system; i synnerhet då dessa kvantifikatorer inte får anta objekt som värden? Jag hoppas här kunna bygga vidare på Boolos tolkning av monadisk andra-ordningens logik i termer av plural kvantifikation.
(4) Hur skall man kunna dra en principiell gräns mellan logiska begrepp och principer och icke-logiska sådana?
(5) Vad kan det innebära att HP och andra abstraktionsprinciper är analytiskt sanna?
(6) Hur skall vi förstå s.k. implicita definitioner?
(7) Kan man utifrån analytiskt sanna principer sluta sig till existensen av tal och andra abstrakta entiteter?
(8) Hur skiljer man på ett principiellt sätt mellan "goda" abstraktionsprinciper, som HP, och "dåliga", som axiom V?

Ämnen: Logik, Teoretisk filosofi